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¿Qué hizo Jacob Bernoulli con el problema de Basilea?

Filed Under: Matemáticas, Problema de Basilea by Rafael Granero-Belinchón — 1 Comment
21/02/2012

A lo largo de la historia de las Matemáticas ha habido problemas famosos. Muchas veces estos problemas pertenecen al área de la Teoría de Números y algunos hasta se pueden explicar claramente sin el uso de tecnicismos. En este caso vamos a considerar el problema de sumar infinitos términos. Esto en matemáticas es lo que se denomina una serie. Esta entrada es la primera que escribimos sobre el problema de Basilea pero no será la última (también recomendamos la lectura de las entradas de Gaussianos aquí y aquí). En este escrito vamos a tratar de explicar rápidamente los avances en este problema que hizo Jacob Bernoulli. Éste problema, que debe su nombre a la ciudad natal de Euler (1707–1783) y la familia Bernoulli, consiste en hallar la suma de

\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\quad (1)

Está claro que siendo un problema conocido en la época de Euler éste tenía que trabajar en el. Sin embargo, dejaremos sus trabajos en esta serie para futuras entradas del blog.

Este problema aparece por primera vez en Novae quadraturae arithmeticae, libro escrito en 1650 por Pietro Mengoli (1625–1686), que fue alumno de Cavalieri (1598–1647) y profesor de la Universidad de Bolonia. Próximamente tendremos que escribir una entrada sobre los trabajos en series de Mengoli.

Desde que se propuso el problema hasta la aparición de Jacob Bernoulli el único avance es la obtención de nueva aproximaciones al valor final (que en esa época ni siquiera se sabia si existía). Esto no es un tema baladí porque esta serie tiene un convergencia muy lenta porque sus términos no decaen excesivamente rápido.

Lo primero que hizo Jacob fue probar que efectivamente la serie sumaba un valor finito. Esto, que puede parecer obvio no lo es en absoluto, pues hay series, las llamadas divergentes, cuya suma es infinito (es decir, la suma diverge). ¿Cómo lo hizo? Pues acotó (1) por algo que él sabía sumar y por lo tanto probó que la suma debía ser un número finito. En concreto el escribió

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + n}=2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=2

Además, como todas las series

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k},\quad (2)

con k\ge 2 cumplen

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k}<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<2,

se obtiene que todas estas series convergen.

El segundo es que para una serie del tipo más general (2), la suma de (sólo) sus términos impares es

\displaystyle\frac{2^k-1}{2^k}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k}

Para probar esta última afirmación basta multiplicar toda la serie (2) por 2^{-k}, con lo que la serie que conseguimos es la de los términos pares, y ahora restar esta serie de la original.

Así tras su trabajo se sabía que efectivamente podían tratar de sumar la serie porque el valor era finito y que además podían considerar también el problema de la serie generalizada (2). En la próxima entrada veremos cómo Euler consigue una serie cuya suma es la misma que la suma de (1) pero con una convergencia mucho más rápida, de manera que hacer aproximaciones a la suma total dejó de ser un tema laborioso.

Esto de las series es un tema entretenido, así que para no abusar y disfrutar sólo nosotros, os dejamos un problemita muy sencillo:

¡Ejercitando las neuronas!

¿Sabríais demostrar que la serie \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} converge? ¿Sabríais calcular su valor? ¿y la serie \sum_{n=0}^\infty (-1)^n? Y por último ¿podríais decir si la serie \sum_{n=0}^\infty \frac{n}{2^n} converge?

Tal y como dijimos en el resumen que sacamos ayer estábamos preparando, como segunda aportación al Carnaval de Matemáticas en su edición 3.1, una entrada sobre el problema de Basilea.

–Nota: El texto anterior está basado en el artículo

Rafael Granero Belinchón, El problema de Basilea: Historia y algunas demostraciones. La Gaceta de la RSME, vol 12, num 4, pag 721-737, 2009.

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Resumen del Carnaval de Matemáticas Edición 3.1 (actualizándose)

Filed Under: Matemáticas by Rafael Granero-Belinchón — 3 Comments
20/02/2012

En esta entrada vamos a ir recopilando las entradas que han participado en el Carnaval de Matemáticas de Febrero.

Empezamos con las que aparecieron antes de tiempo:

Fuera de plazo (pero igualmente interesantes) :-) :

  • Byron nos presenta un cuento a la usanza de las mil y una noches donde el protagonista ha de resolver un acertijo.
  • Desde el blog El tao de la física nos dejan un curioso experimento donde consiguen hacer circular un triciclo de ruedas cuadradas. No os perdáis cómo se consigue usando un poco de geometría diferencial.
  • En el blog Desafíos Matemáticos nos dejan varios ejemplos de dónde se usa el hiperboloide en la construcción.
  • Nuestro amigo José Manuel en su blog Morvalets nos explica cómo las matemáticas son fundamentales en el tratamiento de imágenes. Por cierto ¿sabéis qué significa la fecha del subtítulo del blog “Localizando en tiempo y frecuencia desde 1642“?

Lunes 20 de Febrero:

  1. Desde el blog Sentido de la Maravilla nos hablan de las máquinas de Turing y de la obra del escritor Neal Stephenson (¡en algunas de sus obras llega a salir Newton!).
  2. Desde el departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad del País Vasco nos hablan de poesía y matemáticas.
  3. En Hoja y Números nos hablan de la función primorial, es decir, el producto de los primos menores que una cierta cantidad. Casualmente nuestra propia entrada trata de los números primos :-) .
  4. Belén Palop en su blog “Reflexiones sobre la educación” nos explica cómo aparece la estadística (al trata con percentiles) en la pediatría.
  5. En Destejiendo el mundo nos explican cómo es posible que los mismos datos estadísticos apoyen tesis distintas haciendo unos ligeros cambios tan sólo.
  6. En Animando la Web nos explican cómo operaban los egipcios sin usar tablas de multiplicar.
  7. En Los matemáticos no son gente seria nos dan su opinión sobre el difícil tema de la enseñanza de las matemáticas a todos los niveles. Es este tema uno bien peliagudo y casi cualquier cosa que se diga sera inexacta en cuanto que al tratarse de un problema tan distinto según el nivel educativo nadie (al menos que yo conozca) tiene experiencia a todos los niveles. Ya puestos hasta voy a dejar una referencia y quizá escriba una entrada con mi opinión personal.
  8. Nosotros participamos con una entrada donde comentamos una nueva prueba de la infinitud de los números primos.
  9. En Números y algo más nos dejan como curiosidad cómo conseguir ecuaciones multigrado. Realmente sorprendente.
  10. Tito Eliatron nos recuerda la conocida anécdota de Bertrand Russel en el papel del Papa :-) .
  11. En Espejo Lúdico nos proponen un acertijo basado en uno previo del conocido Sam Loyd.
  12. Desde Gaussianos nos dejan un entrada donde hablan de la serie armónica y su carácter divergente. También sale como estrella invitada la serie de los inversos de los cuadrados, es decir, el Problema de Basilea. Resulta que ahora mismo estamos escribiendo una entrada sobre el Problema de Basilea, con suerte estará para mañana totalmente acabada, y es que vamos a iniciar en este blog una serie de entradas dedicadas a ese tema (igual que ya hicimos con las Paradojas).

Martes 21 de Febrero:

  1. Rafalillo desde su blog nos deja una entrada donde explica el origen de la numeración.
  2. El departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias del País Vasco nos deja la observación de que la fecha de hoy es un palíndromo.
  3. ¡En Gaussianos nos dejan un reto! Un problema de cálculo de probabilidades muy interesante.
  4. Nuestra aportación sobre el problema de Basilea. Ésta es la primera de una serie de entradas.
  5. Desde Boadilla del Monte nos dejan una entrada sobre el interesante número de plástico, pariente del número áureo.
  6. Como ayer nos dejaron con ganas, hoy en Animando la Web nos traen la segunda entrada sobre la aritmética de los egipcios.

 

PD: Si alguien nota que falta, por favor que nos avise.

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La infinitud de los primos

Filed Under: Matemáticas by Rafael Granero-Belinchón — 1 Comment
20/02/2012

Siendo esta semana el Carnaval de Matemáticas en este mismo blog, está claro que el título de la entrada no se refiere a familias grandes. Hablamos de esos curiosos números que sólo son divisibles por ellos mismos y por la unidad, los números primos.

Mucha gente conoce los siguientes resultados:

Teorema: Todo número es primo o producto o primos.

Teorema: Hay infinitos números primos.

 

El primero se conoce como Teorema Fundamental de la Aritmética o de la Factorización Única. En esta entrada trataremos el segundo.

Una prueba de que hay infinitos primos, quizá la más conocida, es muy sencilla. Es el ejemplo arquetípico de prueba por reducción al absurdo: Supongamos que existe un número finito de primosp_i, i = 1\cdots k y definamos n=p_1p_2p_3\cdots p_k=\Pi_{i=1}^k p_i. Consideremos ahora n+1. Si n+1 no es primo, entonces es divisible por algún primo p. Se tiene que p no está en nuestra lista, porque si p=p_j para cierto j, como p_j divide a n se tiene que p_j | n+1-n de donde concluimos que p_j=1 y por lo tanto nuestra lista está incompleta.

Nada nuevo bajo el sol hasta aquí. Pero resulta que el día 16 de Febrero de este año, es decir, el Jueves pasado publicaron en el servidor de preprints Arxiv una nueva prueba (hay multitud de ellas). Además de nueva es sencilla, así que se me ocurrió contarla aquí. La prueba se debe a Romeo Mestrovic. Veamos cómo es: sabemos que 2 es primo y que 3 también lo es, por lo tanto, gracias al Teorema de Factorización Única, se tiene

\displaystyle n-1 =p_{1}^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}\geq 5.

Ahora bien: podemos escribir

\displaystyle n-1 =p_{1}^{s-(s-e_1)}p_2^{s-(s-e_2)}\cdots p_k^{s-(s-e_k)}=\frac{n^s}{a},

con a=p_{1}^{(s-e_1)}p_2^{(s-e_2)}\cdots p_k^{(s-e_k)} y s=\max_i\{ e_i\}.

Tenemos entonces a=\frac{n^s}{n-1}=\frac{n^s-1}{n-1}+\frac{1}{n-1} y por lo tanto \frac{1}{n-1} debe ser un número entero, pero n-1\geq 5, y hemos llegado a contradicción.

–Nota: Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas que organizamos nosotros :-) .

–Referencia: Romeo Mestrović, EUCLID’S THEOREM ON THE INFINITUDE OF PRIMES: A HISTORICAL SURVEY OF ITS PROOFS (300 B.C.–2012) AND ANOTHER NEW PROOF, Arxiv preprint.

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“¿A qué me dedico?” – Ordenes cero y primero

Filed Under: Cuántica, Física, Personal by xhaju — Leave a comment
15/02/2012

Como estudiante de doctorado, es una pregunta que me han hecho mil y una veces. Voy a tomar la solución a esta respuesta al estilo “físico teórico”:

Orden cero:

Las respuestas más comúnes que obtengo cuando le digo a la gente que soy físico son:

“¡Hala!”

“¡Uff, qué difícil!”.

Podría decirse que esa respuesta es invariante.

Mi réplica suele ser casi siempre la misma:

“En realidad, no es tan complicado: como en casi todo, lo más importante es la dedicación y la motivación. Por ejemplo, yo no podría ser abogado, pues require habilidades que no poseo.”

Y, si mi interlocutor no está más interesado en la ciencia porque no lo considere cultura (a pesar de lo que el Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española tenga que decir al respecto), el tema se acaba ahí.

Si tuviese que contar las veces que doy esta respuesta, diría que, aproximadamente, sirve el 50% de las veces.

 

Primer orden:

Supongamos que tenemos a alguien enfrente con algo más de interés:

“Y ¿qué estudias?”

A menos que sepa que la persona con la que estoy hablando tiene un cierto bagaje científico, suelo sacar, de modo tímido, las siguientes palabras de mi boca:

“¿Conoces la mecánica cuántica?”

La palabra “cuántico” se repite habitualmente en los programas de divulgación, de modo que casi todo el mundo “sabe” que tiene que ver con las cosas MUY pequeñas (aunque cada vez más grandes).

Cuando observamos las cosas a escalas macroscópicas (como, por ejemplo, milimetros, centímetros, metros, y mayores), tenemos la sensación de que todo es contínuo, sin saltos. Sin embargo, cuando miramos las cosas más de cerca, como haciendo “zoom” a los detalles más pequeños, las cosas comienzan a verse como hechas a base de “trozos” o “pedazos” más pequeños, llamados “cuantos”.

Si nos acercamos a las figuras de la izquierda, por mucho que nos acerquemos, nos pareceran "solidas". Algo discreto carece de esa "solidez", y se asemeja a una montaña de arena: desde lejos parece sólida, pero cuando te acercas ves que está formada a base de granitos.

Con la palabra “cuanto” no me refiero a las piezas que, al unirse, forman máquinas más complejas: si nos acercásemos a cada una de esas piezas, nos parecería como si fuesen totalmente solidas y contínuas. Sin embargo, si seguimos acercándonos, podemos ver como esa solidez es totalmente artificial, pues la materia está formada por moléculas, átomos y otras partículas indivisibles. Si estirásemos un poco la analogía, podríamos suponer que esa materia “sólida” o “contínua” es como un cuadro puntillista: de cerca se observa que el cuadro está pintado a base de pinceladas puntuales de diversos colores pero, al alejarse, uno puede ver como los colores se van fundiendo, degradados apareciendo, y el conjunto del cuadro sale a la vista como si hubiese sido pintado con trazos contínuos.

Pero, volviendo a la cuestión que nos atañe, una vez que me aseguro de que la persona sabe a lo que me refiero, continúo con lo siguiente:

“Mi campo es la óptica cuántica: si la óptica se encarga de estudiar los fenómenos de la luz, en vez de imaginar la luz como una sustancia continua de la que podemos obtener una cantidad arbitrariamente pequeña, nosotros la consideramos compuesta de pequeños trozos o cuantos de luz llamados fotones.

Además, también estudiamos las interacciones de la luz con los cuantos de materia. En mi caso, con los átomos.”

Y, hasta aquí, me parece una respuesta que atañe al 90% de mis interacciones.

Podría continuar con el segundo orden, con mayor precisión y contenido en detalles, pero esa es otra historia y deberá ser contada en otro momento (Aunque puedo adelantar que aparecen láseres)

 

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Anuncio del Carnaval de Matemáticas de Febrero

Filed Under: Matemáticas by Rafael Granero-Belinchón — 15 Comments
04/02/2012

En Scientia Potentia Est tenemos la suerte de albergar el Carnaval de Matemáticas de este mes de Febrero. Es la edición 3.1, así que estamos de cumpleaños. Esperamos que nos ayudéis a celebrar este cumpleaños con vuestras entradas.

El Carnaval tendrá lugar la semana del 20 al 26 de Febrero y un par de días después colgaremos un resumen de manera que tengáis todas las entradas juntitas para poder votar la que más os guste. Os recordamos cómo participar:

  • Primero escribes una entrada que tenga relación con las matemáticas en tu blog. Si no tienes blog puedes publicarlas en la web del Carnaval o, si nos la envías a “scientiapotentiaest (arroba) ambages (punto) es”, la podemos colgar en este blog. En tu entrada, y se publique donde se publique, has de indicar que participas en el Carnaval de Matemáticas y poner un enlace a la web del Carnaval y al blog que lo albergue, en este caso, el nuestro.
  • Ahora sólo queda decirnos a nosotros que habéis participado. Para eso os pedimos que nos mandéis un email a ”scientiapotentiaest (arroba) ambages (punto) es” con el enlace a la entrada. Y, además del email, podéis colgar dicho enlace en la página de facebook del Carnaval o en los comentarios de esta entrada.

Esperamos que todos os animéis a escribir entradas tan interesantes como las de las ediciones pasadas.

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¿Cómo nos golpea el factor de impacto?

Filed Under: Física, Matemáticas, Uncategorized by Rafael Granero-Belinchón — 1 Comment
31/01/2012

Está el tiempo un poco revuelto en tierras de la publicación de artículos científicos. Resulta que en los USA la editorial Elsevier está haciendo presión para sacar una ley contra el acceso libre a la investigación científica. Por esto y otras cosas la comunidad científica trata de boicotear a dicha editorial (ver la noticia aquí y aquí). Por otro lado existen multitud de revistas, y algunas sólo sirven para engordar el ego de los autores que publican en ellas y la cartera de los dueños de la editorial (ver aquí).

En esta entrada voy a explicar un poco cómo funciona la publicación de artículos científicos:

Cuando un científico consigue resolver un problema medianamente interesante escribe un artículo donde cuenta cómo lo ha hecho. Una primera versión que al autor le gusta (y que cree que está bien) es enviada a una revista. La revista se suele elegir de acuerdo a la dificultad del problema resuelto, las técnicas usadas y el área de conocimiento de manera que se optimice “la calidad” de la revista. Lo que pasa es que medir “la calidad” es un tema muy peliagudo. Para ello se suele utilizar el factor de impacto (aunque no está claro que esto esté bien hecho). Remarco aquí el hecho obvio de que el trabajo del científico lo paga, normalmente, el Estado, no una editorial.

Cuando un editor recibe un artículo lo manda a un revisor (en el argot, a un referee). Esta persona ha sido elegida porque tiene amplios conocimientos en el tema del que trata el artículo y su nombre será mantenido en secreto por el editor. De esta manera se asegura una evaluación por una persona cualificada y que no debe preocuparse por las consecuencias de su veredicto. Y otra cosa no menos importante, el trabajo del revisor es gratuito. Efectivamente, habéis leído bien, un doctor en alguna ciencia y reputado investigador trabaja gratis una parte de su tiempo.

Tras un tiempo prudencial (normalmente muy largo) el revisor envía su informe recomendando la publicación del artículo sin modificar nada, con ligeras modificaciones o directamente lo rechaza. En el caso favorable, el autor hace los cambios si los hubiera y el artículo aparece en la revista en cuestión. En otro caso el autor puede elegir mandarlo a una segunda revista. Para leer el resultado final del trabajo los científicos compañeros del autor deben pagar mucho dinero. Por dar una cifra el CSIC se gasta anualmente 9 millones de euros.

Los derechos de la versión del trabajo final, la que se publica como artículo en un número de la revista ya no es del científico autor del trabajo. Sin embargo, normalmente (depende de la editorial) si tiene los derechos de las primeras versiones (en el argot “preprints“) y de la versión revisada tras el informe del revisor (en el argot “postprint“). Estas versiones pueden colgarse en sus webs, en repositorios como Arxiv o donde uno quiera.

Así que resumiendo, el trabajo lo hace el autor de la investigación y el revisor y lo cobra Elsevier. Para que luego digáis que los investigadores somos listos.

Además, las revistas proliferan. Cada vez hay más. Y a los investigadores para sacar una beca o un contrato se les exigen cantidades ingentes de artículos indexados en la ISI Web of Knowledge (con factor de impacto). Resulta que Einstein podía ser un genio sacando “solamente” la relatividad, el movimiento browniano y el efecto fotoelectrico, pero para ser un postdoc en España uno tiene que tener nosecuantos artículos. ¿Qué ocurre con eso? pues que se recurre a lo que sea. A publicar artículos poco interesantes y a repetir la técnica hasta la náusea. Esto por si mismo, no es ni malo ni bueno, creo yo. Uno hace lo que puede, sabe o quiere. Lo que está mal es evaluar la cantidad equiparándola a la calidad. Acabo con una frase que he escuchado a gente ilustre:

“con ese criterio Corín Tellado sería mejor que Cervantes” 

 

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Resolviendo la ecuación de ondas…

Filed Under: Aplicaciones, Ecuaciones diferenciales, Física, Matemáticas by Rafael Granero-Belinchón — Leave a comment
23/01/2012
Tradicionalmente los matemáticos que trabajamos en el área de ecuaciones en derivadas parciales estudiamos problemas que vienen de procesos físicos. Es el caso de la ecuación del calor, la ecuación de Poisson o la ecuación de ondas. En esta entrada vamos a exponer dos métodos para resolver la ecuación de ondas. Estos métodos al tener un planteamiento distinto dan una información distinta. Veremos así diferencias entre pensar en las ecuaciones sólo o pensar en el fenómeno que modelizan. La ecuacion de ondas es
\displaystyle\partial_t\partial_t u=\partial_x\partial_x u,
junto a dos valores iniciales (tiene dos derivadas en tiempo) y las condiciones de contorno, que aquí tomamos dirichlet homogéneas. Esta ecuación refleja la separación del equilibrio de la cuerda en tiempo t y en el punto x.
Jean Le Rond D’Alembert demostró que si consideramos toda la recta (es decir, sin contornos) entonces podemos escribir la solución como una superposición de ondas, una que viaja hacia la derecha y otra que viaja hacia la izquierda. Estas ondas se escriben en función de los valores iniciales. Podemos hacer lo mismo en dominios acotados o semi acotados, pero es más lío.
Esta aproximación es puramente teórica, muchas ecuaciones admiten solución en forma de onda viajera (por ejemplo la de Fisher-Kolmogorov, \partial_t u=\partial_x\partial_x u +u(1-u) ). En este caso podemos esperarlo si observamos que podemos ‘factorizar’ el operador como dos operadores de transporte   View full article »
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De cuerdas y tambores, o cómo la física aparece en un problema de matemáticas

Filed Under: Aplicaciones, Ecuaciones diferenciales, Física, Matemáticas by Rafael Granero-Belinchón — Leave a comment
19/01/2012
Cualquier estudiante de física tiene claro o al menos intuye cómo aparecen las matemáticas al estudiar problemas de física. Hoy vamos a hablar de cómo aparece la física en un teorema abstracto de matemáticas. View full article »
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A Francisco Gancedo le conceden el premio “Real Maestranza de Caballería de Sevilla”

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04/01/2012

¿Cómo empezar bien el año? Pues recibiendo un premio. Esa ha sido la manera de comenzar el 2012 de Francisco Gancedo ya que la Real Academia Sevillana de Ciencias le ha concedido el premio “Real Maestranza de Caballería de Sevilla” por sus investigaciones en el estudio de problemas de frontera libre asociados a interfases entre fluidos incompresibles. O de otra manera: olas en diversas situaciones (puede leerse una entrada sobre el tema aquí).

¡Felicidades Paco!

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Usando las Matemáticas en biología

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26/12/2011
Empezamos el año participando en la IX edición del Carnaval de Biología organizado por La Ciencia de la Vida. Corrientemente las personas que se dedican a la docencia tienen que oir la pregunta ¿pero esto para qué vale?. Esas preguntas normalmente se refieren a las matemáticas o la física. En esta nueva entrada en nuestro blog vamos a presentar brevemente una posible aplicación de las matemáticas, en este caso a la biología. Ni es la aplicación más útil ni la más interesante, pero es sencilla.
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